【УМК «Просвещение»】Математика, 8 класс, часть 2: Тайна наложения полосок: Познание параллелограмма

Представьте себе, как параллельные лучи света проходят через отверстия в картоне и оставляют световые пятна на столе, или просто вырежьте две прозрачные полоски с параллельными краями и случайным образом перекройте их. Независимо от того, как вы поворачиваете угол этих двух полосок, область их пересечения под светом всегда будет образовывать идеальную геометрическую фигуру —параллелограмм.

Суть и разбор параллелограмма

В геометрии «параллельность» означает не пересечение. Когда мы соединяем две пары параллельных отрезков, мы определяем эту захватывающую многоугольную фигуру:Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом(обозначается как $\square ABCD$).

Чтобы раскрыть тайну параллелограмма, математики используют замечательную стратегию снижения размерности:«соединить диагонали». Одна диагональ мгновенно делит непонятный четырехугольник на два знакомых нам треугольника!

Шаг 1: Введение диагоналей для создания моста

Как показано на рисунке 18.1-3, соедините диагональ $AC$ в $\square ABCD$.

Используйте «внутренние накрест лежащие углы» параллельных прямых:
$\because AD \parallel BC$ и $AB \parallel CD$
$\therefore \angle 1 = \angle 2$, и $\angle 3 = \angle 4$.

Шаг 2: Победа конгруэнтных треугольников

В этот момент $AC$ является общим ребром для $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$общей стороной.

Согласно теореме об угле-стороне-угле (ASA), $\therefore \triangle ABC \cong \triangle CDA$.
Как только они конгруэнтны, соответствующие элементы полностью равны:
$\therefore AD=CB$, $AB=CD$, и $\angle B=\angle D$.

Расстояние и высота: вечная согласованность параллельных линий

Почему высота по одному основанию всегда одинакова, независимо от того, как наклонен параллелограмм? Это приводит нас к еще одному ключевому понятию:расстояние между параллельными линиями. Отрезок, проведенный перпендикулярно из любой точки одной прямой к другой параллельной прямой, называется расстоянием между этими двумя параллельными прямыми. Как шпалы между рельсами железной дороги, их длина всегда остается одинаковой.

🎯 Основные законы и теоремы о признаках

Как только вы освоите технику разбиения на конгруэнтные треугольники, вы сможете легко вывести все свойства и теоремы о признаках!

Теоремы о свойствах:Противоположные стороны параллелограмма равны; противоположные углы равны; диагонали делят друг друга пополам.
Теоремы о признаках (обратное рассуждение):Четырехугольник, у которого две пары противоположных сторон равны, является параллелограммом; четырехугольник, у которого две пары противоположных углов равны, является параллелограммом; четырехугольник, у которого диагонали делят друг друга пополам, является параллелограммом; четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна и равна, является параллелограммом.

ВОПРОС 1

В параллелограмме $\square ABCD$ известны соседние стороны $AB=5$, $BC=3$. Найдите его периметр.

ВОПРОС 2

В параллелограмме $\square ABCD$ известен внутренний угол $\angle A=38^{\circ}$. Каковы величины углов $\angle B$ и $\angle C$?

$\angle B=142^{\circ}$, $\angle C=38^{\circ}$

$\angle B=38^{\circ}$, $\angle C=142^{\circ}$

$\angle B=142^{\circ}$, $\angle C=142^{\circ}$

$\angle B=52^{\circ}$, $\angle C=38^{\circ}$

ВОПРОС 3

После того как Минь прошел 80 метров на восток, он прошел еще 60 метров в другом направлении, затем еще 100 метров в третьем направлении и вернулся в исходную точку. В каком направлении он пошел вторым после движения на восток на 80 метров?

Юг или Север

Северо-восток или Юго-восток

Восток или Запад

Северо-запад или Юго-запад

ВОПРОС 4

Чтобы гарантировать абсолютную параллельность двух прямых рельсов железнодорожного пути, рабочие просто должны сделать длину всех шпал, расположенных между рельсами, одинаковой. Какой геометрический принцип скрывается за этим?

Параллельные отрезки, расположенные между двумя параллельными линиями, равны, а расстояние между параллельными линиями одинаково везде

Соответствующие углы конгруэнтных треугольников равны

Четырехугольник, у которого диагонали делят друг друга пополам, является параллелограммом

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине ее длины

ВОПРОС 5

Как показано на рисунке, $\square OABC$ находится в прямоугольной системе координат, координаты вершин $O, A, C$ равны $(0,0), (a,0), (b,c)$. Используя свойства параллелограмма, каковы координаты вершины $B$?

$(a+b, c)$

$(a, c)$

$(b-a, c)$

$(a+c, b)$

Практические задания: Глубокое изучение параллелограмма

Решение комплексных задач с использованием конгруэнтных треугольников и теорем о признаках

Вопрос 1

[Практическое исследование] Вырежьте две полоски с параллельными противоположными сторонами, случайным образом перекройте их, перекрывающаяся часть образует четырехугольник $ABCD$. При повороте одной из полосок, какова зависимость между длинами отрезков $AD$ и $BC$? Почему?

Подробное решение:
Соотношение:Отрезок $AD = BC$.
Причина:Когда две бумажные полоски перекрываются, поскольку противоположные стороны сами по себе параллельны, в перекрывающейся области, образующей четырехугольник $ABCD$, обязательно выполняется $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$. Согласно определению «четырехугольник, у которого две пары противоположных сторон параллельны, является параллелограммом», четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. Затем, согласно теореме о свойствах параллелограмма «противоположные стороны параллелограмма равны», получаем $AD = BC$. Независимо от того, как вы поворачиваете угол, эта теорема всегда остается верной.

Вопрос 2

[Периметр и диагонали] В $\square ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $BC=10, AC=8, BD=14$.
(1) Каков периметр $\triangle AOD$?
(2) Какой из периметров $\triangle ABC$ и $\triangle DBC$ больше? На сколько?

Подробное решение:
(1) Найдите периметр $\triangle AOD$:
Согласно свойствам параллелограмма «диагонали делят друг друга пополам» и «противоположные стороны равны», можно сказать:
$AO = \frac{1}{2}AC = 4$,
$DO = \frac{1}{2}BD = 7$,
$AD = BC = 10$.
Следовательно, периметр $\triangle AOD$ = $AD + AO + DO = 10 + 4 + 7 = 21$.

(2) Сравните периметры $\triangle ABC$ и $\triangle DBC$:
Периметр $\triangle ABC$ = $AB + BC + AC = AB + 10 + 8 = AB + 18$.
Периметр $\triangle DBC$ = $CD + BC + BD$. Поскольку $CD = AB$, периметр = $AB + 10 + 14 = AB + 24$.
Сравнивая, видно, что периметр $\triangle DBC$ больше периметра $\triangle ABC$, и превышает его на $24 - 18 = 6$.

Вопрос 3

[Вызов доказательства] Как показано на рисунке, диагонали $AC, BD$ параллелограмма $\square ABCD$ пересекаются в точке $O$, $EF$ — прямая, проходящая через точку $O$, которая пересекает $AB$ и $CD$ соответственно в точках $E, F$. Докажите, что $OE=OF$.

Доказательство:
В $\square ABCD$ противоположные стороны $AB \parallel CD$, и диагонали делят друг друга пополам, поэтому $OA = OC$.
$\because AB \parallel CD$
$\therefore \angle OAE = \angle OCF$ (при параллельных прямых внутренние накрест лежащие углы равны).
В $\triangle AOE$ и $\triangle COF$:
$\begin{cases} \angle OAE = \angle OCF \\ OA = OC \\ \angle AOE = \angle COF \text{ (вертикальные углы равны)} \end{cases}$
$\therefore \triangle AOE \cong \triangle COF$ (теорема ASA).
$\therefore OE = OF$ (соответствующие стороны конгруэнтных треугольников равны). Доказательство завершено.
*洞察：这个结论说明，过平行四边形中心的任意直线，不仅平分平行四边形的面积，其被对边截得的线段也被中心平分。

Вопрос 4

[Связанные фигуры] Как показано на рисунке, есть два взаимосвязанных четырехугольника $ABCD$ и $CDEF$, известно, что $AB=DC=EF$, $AD=BC$, $DE=CF$. Какие отрезки на рисунке параллельны?

Подробное решение:
На рисунке три пары параллельных отрезков:$AB \parallel DC \parallel EF$,$AD \parallel BC$и $DE \parallel CF$.
Рассуждение:
1. В четырехугольнике $ABCD$ так как $AB=DC$ и $AD=BC$. Согласно теореме о признаках «четырехугольник, у которого две пары противоположных сторон равны, является параллелограммом», четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом. Отсюда следует $AB \parallel DC$ и $AD \parallel BC$.
2. 同理，在四边形 $CDEF$ 中，因为 $DC=EF$（由 $AB=DC=EF$ 得出）且 $DE=CF$。四边形 $CDEF$ 也是平行四边形。由此得到 $DC \parallel EF$ 和 $DE \parallel CF$。
3. Наконец, поскольку $AB \parallel DC$ и $DC \parallel EF$, согласно свойству транзитивности параллельных прямых, необходимо $AB \parallel EF$. Таким образом, три отрезка $AB, DC, EF$ параллельны друг другу.

Вопрос 5

[Слияние алгебры и геометрии] Если четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм, известно, что одна сторона $AB=6$, и длина $AB$ точно составляет $\frac{3}{16}$ периметра $\square ABCD$. Какова длина соседней стороны $BC$?

Подробное решение:
1. Сначала найдите общий периметр, используя отношение длины $AB$. Периметр $L = 6 \div \frac{3}{16} = 6 \times \frac{16}{3} = 32$.
2. Согласно свойству параллелограмма, противоположные стороны равны, периметр $= 2 \times (AB + BC)$.
3. Подставьте известные значения в уравнение: $32 = 2 \times (6 + BC)$.
4. Решите уравнение: $6 + BC = 16$, следовательно, $BC = 10$.

Вопрос 6

[Анализ концепций] Является ли четырехугольник квадратом при выполнении следующих условий?
(Дополнительная информация: Если треугольник прямоугольный, то три стороны удовлетворяют соотношению $a^2=c^2-b^2$. Как четырехугольник может дальше эволюционировать?)
Если три стороны треугольника $a, b, c$ удовлетворяют соотношению $a^2 = c^2 - b^2$, является ли этот треугольник прямоугольным? Почему?

Подробное решение:
Да, это прямоугольный треугольник!
Простое алгебраическое преобразование уравнения $a^2 = c^2 - b^2$ дает:$a^2 + b^2 = c^2$.
Согласнообратной теореме Пифагора, если три стороны треугольника удовлетворяют условию, что сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, то этот треугольник обязательно прямоугольный (и $c$ — гипотенуза).
*Расширение мышления:Если параллелограмм делится своей диагональю на два прямоугольных треугольника (то есть внутренний угол параллелограмма равен $90^{\circ}$), он трансформируется в прямоугольник; если при этом соседние стороны также равны, он в конечном итоге становится квадратом. Базовые понятия прямого угла и параллельности являются основой исследования всех особых четырехугольников!